Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Sia I ⊆ ℝ e h(x) una funzione reale derivabile definita in I; con il teorema di Lagrange si dimostrano i seguenti teoremi:
1. h(x) è monotona non decrescente ⇔ h'(x) ≥ 0 ∀x∈I
2. h(x) è monotona non crescente ⇔ h'(x) ≤ 0 ∀x∈I
Corollario ai due teoremi è la "Caratterizzazione delle funzioni costanti"
3. h(x) = c ⇔ h'(x) = 0; ∀x∈I e con c∈ℝ
L'affermazione nel testo risulta falsa, infatti se
$ f'(x) = g'(x) \quad \forall x\in I$
$ f'(x) = g'(x) +h'(x) \quad \forall x\in I$
$ f(x) = g(x) + c $
Esempio
Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in ℝ
f(x) = x
g(x) = x+1
sicuramente f'(x) = 1 = g'(x)
ma f(x) ≠ g(x)
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Livello 6