[Risolto] Area della regione del piano

@pjatizhopkin

Ciao e benvenuto.

Considero la funzione semiellisse positiva y ≥ 0. Quindi esplicito in y l'ellisse ottenendo due funzioni:

x^2/16 + y^2/9 = 1---------> y = - 3·√(16 - x^2)/4 ∨ y = 3·√(16 - x^2)/4

Considero quindi quella in grassetto.

Determino l'equazione della parabola tangente all'asse delle x in x=4 che deve essere del tipo:

y = a·(x - 4)^2

Determino l'unico parametro a imponendo il passaggio per A (il passaggio per b ne ho già tenuto conto)

3 = a·(0 - 4)^2------> 3 = 16·a------> a = 3/16

Quindi la parabola è: y = 3/16·(x - 4)^2

Devo quindi calcolare l'integrale definito tra x=0 ed x=4 della differenza delle due funzioni:

3·√(16 - x^2)/4 - 3/16·(x - 4)^2

La prima ha integrale indefinito:

∫(3·√(16 - x^2)/4)dx=6·ASIN(x/4) + 3·x·√(16 - x^2)/8 +C

che valutato tra 0 e 4 fornisce 3·pi  :

6·ASIN(4/4) + 3·4·√(16 - 4^2)/8=3·pi

6·ASIN(0/4) + 3·0·√(16 - 0^2)/8=0

La seconda ha integrale indefinito:

∫(3/16·(x - 4)^2)dx =(x - 4)^3/16 +C

che valutato tra 0 e 4 fornisce: 4

Ne consegue che:

3·pi - 4 è il risultato richiesto

SE TU NON DICI IN CHE CLASSE SEI, NOI SIAMO INCERTI SU COME RISPONDERTI.
------------------------------
Dati: A(0, 3), B(4, 0), (x/4)^2 + (y/3)^2 = 1.
---------------
Le parabole ad asse verticale con vertice B ed apertura a != 0 sono
* y = a*(x - 4)^2
fra esse quella per A deve soddisfare al vincolo
* 3 = a*(0 - 4)^2 ≡ a = 3/16
quindi è
* y = 3*(x - 4)^2/16
---------------
Le ordinate dell'arco AB dell'ellisse si ottengono da
* ((x/4)^2 + (y/3)^2 = 1) & (x >= 0) & (y >= 0) ≡
≡ (y = (3/4)*√(16 - x^2)) & (0 <= x <= 4)
---------------
La differenza di ordinata "ellisse - parabola" che interessa l'area richiesta è
* f(x) = (3/16)*(4*√(16 - x^2) - (x - 4)^2)
da cui
* F(x) = ∫ f(x)*dx = (3/16)*(2*x*√(16 - x^2) - (x - 4)^3/3 + 32*arcsin(x/4)) + c
L'area A richiesta è la differenza
* A = F(4) - F(0) = (3*π) - (4) = 3*π - 4
==============================
ALTERNATIVAMENTE
L'area del triangolo OBA è
* T = 3*4/2 = 6
L'area del quarto d'ellisse OBA è
* Q = π*3*4/4 = 3*π
L'area del segmento parabolico delimitato dalla corda AB è
* S = ((3/16)/6)*(4 - 0)^3 = 2
L'area A richiesta è
* A = Q - T + S = 3*π - 6 + 2 = 3*π - 4

PROPONGO ULTERIORE RISOLUZIONE PER CLASSE SECONDA/TERZA SCIENTIFICO ( senza uso di derivate e integrali) sfruttando il segmento parabolico e il Teorema di Archimede. 😜 😜