come posso risolverlo?

Le dimensioni(3,4,5) in cm del triangolo rettangolo primitivo sono proporzionali a quelle della base del prisma che, pertanto sono: (6,8,10) in cm

perimetro di base=6 + 8 + 10 = 24 cm

altezza prisma= 2/3·24 = 16 cm

volume=Area base* altezza=1/2·(6·8)·16 = 384 cm^3

ipotenusa = 10 cm 

c/C = 3/4 , il che ne fa una terna pitagorica 3,4 e 5 

C = 10/5*4 = 8 cm

c = 10/5*3 = 6 cm 

perimetro 2p =6+8+10 = 24 cm

altezza h = 2p*2/3 = 24/3*2 = 16 cm

volume V = Ab*h = 6*4*16 = 384 cm^3

In un prisma retto l'altezza è 2/3 del perimetro di base, la base è un triangolo rettangolo i cui cateti sono uno 3/4 dell'altro e l'ipotenusa misura 10 cm. Calcola il volume del prisma.

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Triangolo rettangolo di base:

visto il rapporto i cateti con l'ipotenusa formano una terna pitagorica $\small [3, 4, 5]$ moltiplicata per 2; comunque calcolando poni i cateti come segue:

cateto minore $\small c= 3x;$

cateto maggiore $\small C= 4x;$

applica il teorema di Pitagora:

$\small \sqrt{(3x)^2+(4x)^2} = 10$

$\small \sqrt{9x^2+16x^2} = 10$

$\small \sqrt{25x^2} = 10$

$\small 5x = 10$

$\small \dfrac{\cancel5x}{\cancel5} = \dfrac{10}{5}$

$\small x= 2$

per cui:

cateto minore $\small c= 3x= 3×2 = 6\,cm;$

cateto maggiore $\small C= 4x = 4×2 = 8\,cm;$

perimetro $\small 2p= 8+6+10 = 24\,cm$ (= perimetro di base del prisma);

area $\small A= \dfrac{C×c}{2} = \dfrac{\cancel8^4×6}{\cancel2_1} = 4×6 = 24\,cm^2$ (= area di base del prisma);

altezza del prisma $\small h= \dfrac{2}{3}×2p = \dfrac{2}{\cancel3_1}×\cancel{24}^8= 2×8 = 16\,cm;$

volume $\small V= Ab×h = 24×16 = 34\,cm^3.$