[Risolto] Circonferenza

Una retta perpendicolare a x - 2y + 9 = 0 é della forma   2x + y + k = 0 => y = -2x + q

Quindi    x^2 + (-2x + q)^2 - 2x + 4(-2x + q) = 0   deve avere Delta = 0

x^2 + 4x^2 - 4qx + q^2 - 2x - 8x + 4q = 0

5x^2 - (4q + 10) x + q^2 + 4q = 0

5x^2 - 2(2q + 5) x + q(q + 4) = 0

(2q+5)^2 - 5q(q+4) = 0

4q^2 + 20q + 25 - 5q^2 - 20q = 0

25 - q^2 = 0

q^2 = 25

q = +- 5

y = -2x - 5  V  y = -2x + 5

verifica grafica

https://www.desmos.com/calculator/d8tnkzmn7s

Fascio di rette improprio perpendicolare alla retta data

y= - 2x + q

Condizione di tangenza: 

Distanza centro della circonferenza - fascio di rette = raggio 

C(1; - 2)

R= radice (5)

Imponendo la condizione richiesta si ricava 

D= |q|/radice 5 = R

|q|=5

q= ±5

Quindi le rette tangenti sono:

y= - 2x+5

y= - 2x - 5

PER VENIRE IMPOSSIBILE OCCORRE CHE LA CIRCONFERENZA SIA DEGENERE, cioè che il quadrato del raggio sia non positivo.
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La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*x + 4*y = 0 ≡
≡ x^2 - 2*x + y^2 + 4*y = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 - 1^2 + (y + 2)^2 - 2^2 = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5 > 0
ha
* centro C(1, - 2)
* raggio r = √5
quindi, non essendo degenere, ha tangenti di qual si voglia direzione: anche perpendicolari alla retta
* x - 2*y + 9 = 0 ≡ y = (x + 9)/2
cioè di pendenza m = - 2.
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Il sistema fra il fascio di pendenza m = - 2 e la circonferenza Γ
* (y = q - 2*x) & ((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5)
ha risolvente
* (x - 1)^2 + (q - 2*x + 2)^2 - 5 = 0 ≡
≡ 5*x^2 - 2*(2*q + 5)*x + q*(q + 4) = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(q) = - 4*(q^2 - 25) = - 4*(q + 5)*(q - 5) = 0
perciò le tangenti richieste si hanno per q = ± 5:
* y = - 5 - 2*x
* y = + 5 - 2*x
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Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28-5-2*x-y%29*%285-2*x-y%29%3D0%2C%28x-1%29%5E2--%28y%2B2%29%5E2%3D5%5D