Considera il fascio di curve dato dall'equazione y=kx-4/ 4x-k
a)Esistono due valori del parametro "k" per i quali la curva "degenera" in due rette orizzontali.
b) Verifica che tutte le curve del fascio passano dai punti H(1;-1) e K(-1;1)
c) Estrai dal fascio iperbole che passa per P(3;0)
d)Estrai dal fascio l'iperbole tangente alla retta y=2x
e) Estrai dal fascio l'iperbole in cui asintoti si intersecano in un punto della parabola y=x².
20
punti
Livello 0
a) Sono quelli per i quali D = 0 => -16 + k^2 = 0 => k = -4 V 4
b) Sostituendo -1 = (k - 4)/(4 - k) é sempre vera per k =/= 4
e anche 1 = (-k-4)/(-4-k) é vera per ogni k =/= -4
c) 0 = (3k - 4)/(12- k) => k = 4/3
y = (4/3 x - 4)/(4x - 4/3) => y = (1/3 x - 1)/(x - 1/3) = (x - 3)/(3x - 1)
d) (kx - 4)/(4x - k) = 2x deve avere D = 0
kx - 4 = 8x^2 - 2kx
8x^2 - 3kx + 4 = 0
9k^2 - 128 = 0
k = +. 8/3 rad(2)
Verifica grafica
https://www.desmos.com/calculator/xlfmofi9vp
e) si deve imporre che il punto (-d/c, a/c) = (k/4, k/4)
stia sulla parabola (k/4) = (k/4)^2
delle due soluzioni k = 0 e k = 4 solo k = 0 identifica una iperbole
ne risulta infatti la
y = -1/x gli asintoti sono gli assi cartesiani e si incontrano nell'origine che é
il vertice della parabola
58345
punti
Livello 7
@eidosm grazie milleee<3
Hai una tastiera famelica che ti s'è mangiata due coppie di parentesi!
La famiglia di omografiche, scrivendola in linea, ESIGE i delimitatori espliciti
* Γ(k) ≡ y = (k*x - 4)/(4*x - k)
e, così scritta, rappresenta le iperboli
* Γ(k) ≡ k*x - 4*x*y + k*y - 4 = 0
di centro C(k/4, k/4) con asintoti x = k/4 e y = k/4 e punti base d'intersezione fra due qualsiasi coniche del fascio; ad esempio
* Γ(0) & Γ(1) ≡ (y = - 1/x) & (y = (x - 4)/(4*x - 1)) ≡
≡ K(- 1, 1) oppure H(1, - 1)
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QUESITI
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a) Se k^2 = 16, cioè k = ± 4, si ha
* Γ(- 4) ≡ y = - 1
* Γ(+ 4) ≡ y = + 1
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b) v. sopra, punti base
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c) Da 0 = (k*3 - 4)/(4*3 - k) ≡ k = 4/3 si ha
* Γ(4/3) ≡ y = (x - 3)/(3*x - 1)
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d) Il sistema
* (y = 2*x) & (k*x - 4*x*y + k*y - 4 = 0)
ha risolvente
* k*x - 4*x*2*x + k*2*x - 4 = 0 ≡ x^2 - 3*k*x/8 + 1/2 = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(k) = (9*k^2 - 128)/64 = 0 ≡ k^2 = 128/9 ≡ k = ± 8*√2/3
da cui
* Γ(- 8*√2/3) ≡ y = - (3 + (2*√2)*x)/(2*√2 + 3*x)
* Γ(+ 8*√2/3) ≡ y = (3 - (2*√2)*x)/(2*√2 - 3*x)
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2*x%2C%28-%283--%282*%E2%88%9A2%29*x%29%2F%282*%E2%88%9A2--3*x%29-y%29*%28%283-%282*%E2%88%9A2%29*x%29%2F%282*%E2%88%9A2-3*x%29-y%29%3D0%5D
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e) Da C(k/4, k/4) e k/4 = (k/4)^2 ≡ (k = 0) oppure (k = 4) si ha
* (Γ(0) ≡ y = - 1/x) oppure (Γ(4) ≡ y = 1) ≡
≡ Γ(0) ≡ y = - 1/x
57798
punti
Genius I
