cambiamento di base

Un esercizio per volta in accordo con il regolamento. 

Problema:

Sia $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ l'applicazione lineare data da $f(x,y)=(2y, 2y-x)$, determinare la matrice $M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(f)$ di $f$ rispetto alla base $\mathcal{B}=((2,-2), (2,-3))$.

Soluzione:

Prima di iniziare si esprime $f(x,y)$ come matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^2$.

Per fare ciò devi vedere dove vengono mandati i vettori di $\mathcal{E}=((1,0),(0,1))$ dopo l'applicazione di $f$.

$f(1,0)=(0,-1)$

$f(0,1)=(2,2)$

Inserendo questi vettori colonna in una matrice si ottiene:

$M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}(f)=\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} $.

Per capire quanto segue immagina che le basi altro non siano che delle lingue diverse: una matrice $M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}$ conosce la lingua ${\mathcal{A}}$, legge un brano in lingua ${\mathcal{A}}$ e lo traduce in lingua ${\mathcal{B}}$.

L'obiettivo è ottenere $M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(f)$ avendo $M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}(f)$, è necessario quindi tradurre da ${\mathcal{B}}$ ad ${\mathcal{E}}$ e poi da ${\mathcal{E}}$ in ${\mathcal{B}}$.

Si ottiene quindi: $M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(f)=M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{E}}(id)M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}(f)M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{B}}(id)$ (le composizioni si leggono da destra a sinistra).

Quindi $M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{B}}(id)$ prende un testo in lingua ${\mathcal{B}}$ e lo traduce così com'è in lingua ${\mathcal{E}}$, poi $M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}(f)$ lo legge in lingua ${\mathcal{E}}$ e lo modifica sempre in lingua ${\mathcal{E}}$, infine $M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{E}}(id)$ prende il testo modificato in lingua ${\mathcal{E}}$ e lo ritraduce in lingua ${\mathcal{B}}$.

Si può notare che $M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{B}}(id)$ è facile da trovare dato che basta vedere dove vengono mandati dall'identità i vettori della base $\mathcal{B}$ tradotti in $\mathcal{E}$. 

$M^{\mathcal{E}}_{\mathcal{E}}(id)X_{\mathcal{E}}(2,-2)=(2,-2)$

$M_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}(id)X_{\mathcal{E}}(2,-3)=(2,-3)$

Ciò implica che $M^{\mathcal{B}}_{\mathcal{E}}(id)=\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
-2 & -3
\end{pmatrix} $.

Per un lemma noto si ha che $M^{\mathcal{E}}_{\mathcal{B}}(id)=(M^{\mathcal{B}}_{\mathcal{E}}(id))^{-1}=\begin{pmatrix}
\frac{3}{2} & 1 \\
-1 & -1
\end{pmatrix} $.

Quindi

$M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(f)= \begin{pmatrix}
\frac{3}{2} & 1 \\
-1 & -1
\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 2 \\
-2 & -3
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-12 & -17 \\
10 & 14
\end{pmatrix} $.