Calcolo differenziale

a. 

i) Definizioni delle costanti a e b

$ f_{a,b}(x) = 2xe^{2+ax} + b $

Dal disegno il grafico passa per:

1. P(0, 2) ⇒ 2 = 0 + b ⇒ b = 2. La funzione si riduce a $ f_{a}(x) = 2xe^{2+ax} + 2 $ 
2. Q(2, 6) ⇒ $6 = 4e^{2+2a}+2 ⇒ e^0 = e^{2+2a} ⇒ a = -1 $

La funzione f(x) è così 
$ f(x) = 2xe^{2-x}+2 $

ii) Intervalli di monotonia

$ f'(x) = -2e^{2-x}(x-1) $

1. Se x < 1 allora f'(x) > 0 quindi la funzione è strettamente crescente
2. Se x > 1 allora f'(x) < 0 quindi la funzione è strettamente decrescente

iii) Asintoto orizzontale destro

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2xe^2}{e^x} + 2 = 2 $

L'asintoto orizzontale destro ha equazione y = 2.

b. E' possibile applicare Cauchy in [0, 2]?

$ f(2) = 4+2 = 6$
$f(0) = 2 $

$ g(x) = e^{2-x} $
$g'(x) = - e^{2-x} $  ⇒ g'(x) ≠ 0  ∀x∈[0,2] Ipotesi per applicare Cauchy
$g(2) = 1$
$g(0) = e^2$

Applicando Cauchy si ha

$ \frac{f(2)-f(0)}{g(2)-g(0)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} $
$ \frac{4}{1-e^2} = \frac{-2e^{2-c}(c-1)}{-e^{2-c}} $
$ \frac{2}{1-e^2} = c-1 $
$ c = \frac{3-e^2}{1-e^2} = \frac{e^2-3}{e^2-1} $

c.  limite

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{g^2(x)} = $
$ = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2xe^{2-x} + 2}{e^{2(2-x)}} = $
$ = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{e^{2-x}} + \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{e^{2(2-x)}} = $
$ = 0+ 0 = 0$