Calcolo differenziale

a) Essendo f(x) = 4 g(x + 2) con g(t) = ln (2t)/t

basta dimostrare che g(t) é decrescente nell'intervallo corrispondente

g'(t) = [1/t * t - ln (2t)]/t^2 >= 0

1 - ln 2t >= 0 intervallo di crescenza

ln 2t <= 1

2t <= e

t <= e/2

x <= e/2 - 2 < 0

per cui per x > 0 la funzione composta non é mai crescente.

Una funzione strettamente decrescente é iniettiva nel suo dominio

e quindi é invertibile. Questo non significa che l'inversa sia

esplicitabile.

b) Se x viene cambiato in x+1 la variazione é espressa da

f(x+1) - f(x) = 4 ln (2x+6)/(x+3) - 4 ln(2x+4)/(x+2)

Se (con x>= 0 e quindi maggiore di -2) la variazione

si annullasse, f(x) soddisferebbe le ipotesi di Rolle in [x, x+1].

Dovrebbe esistere quindi x* in tale intervallo in cui f'(x*) = 0

contro il fatto, che abbiamo dimostrato, che f'(x) < 0 per ogni x >= 0

c) sono solo calcoli algebrici 

Espressione esplicita dell'elasticità

h(x) = x(x+2)/[4 ln (2x + 4)] * [4*2/(2x+4) * (x+2) - 4 ln(2x+4)]/(x+2)^2

Ora riscrivendo

h(x) = x/(x+2) * [4 - 4 ln(2x+4)]/[4 ln (2x+4)]

Quando x->+oo il primo fattore tende a 1

mentre il secondo é [ 1 - ln u ]/ln u con u = 2x+4

e il suo limite quando u->+oo é 0 - 1 = -1