[Risolto] calcolare la derivata prima di:

Ciao!

Non ho capito se il primo ha alla potenza $3x$ oppure è $3$ e poi moltiplica $x$. Lo facciamo in entrambi i casi. 

 $$ (x^2+x)^{3x}$$

Usiamo la proprietà che dice $  y = e^{\ln(y)} $ :

$(x^2+x)^{3x} = e^{\ln( (x^2+x)^{3x})}= e^{3x \ln( x^2+x)}$

Ora deriviamo usando la regola di derivazione della funzione composta: 

$$D(f(g(x))) = f'(g(x))\cdot g'(x) $$

$ e^{3x \ln( x^2+x)} \cdot D(3x \ln( x^2+x) ) = e^{3x \ln( x^2+x)} \cdot [ 3 \ln(x^2+x) +3x \frac{1}{x^2+x}(2x+1) ] $

dove abbiamo usato: 

$D(3x \ln( x^2+x)) \rightarrow $ derivata del prodotto $D(f \cdot g) = f' \cdot g + f \cdot g' $

$D( \ln(x^2+x)) \rightarrow $ derivata della funzione composta.

Terminiamo i calcoli:

$e^{3x \ln( x^2+x)} \cdot [ 3 \ln(x^2+x) +3x \frac{1}{x^2+x}(2x+1) ]  = (x^2+x)^{3x} [ 3 \ln(x^2+x) +\frac{3x(2x-1)}{x^2+x}]$

Se invece la funzione era

$$ (x^2+x)^3 \cdot x $$

Usiamo la derivata del prodotto e, per derivare $(x^2+x)^3$ la derivata di composizione. Otteniamo: 

$ 3 (x^2+x)^2 \cdot (2x) \cdot x + (x^2+x)^3 \cdot 1 = (x^2+x)^2 (6x^2 + x^2+x) = (x^2+x)^2(7x^2+x) $

$$  3^x  (x^2-x)$$ 

è un prodotto di funzioni. Quindi:

$3^x \log(3) \cdot(x^2-x) +3^x \cdot (2x-1) = 3^x ( \log(3)(x^2-x) +2x-1) $

$$   \log(\log (x^2)) $$

Usiamo la derivata della funzione composta. Facciamo per bene tutti i passaggi: 

$ \frac{1}{\log(x^2)} \cdot D(\log(x^2)) = \frac{1}{\log(x^2)} \cdot \frac{1}{x^2}(2x) = \frac{2x}{\log(x^2)\cdot x^2} $