Asintoti con parametri.

1. Determiniamo gli asintoti della funzione $y(x) = ln((x-3)/(x-4))^2 $

a.  Asintoto orizzontale.

$\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) = ln(1) = 0 $ ovvero y = 0

b. Asintoti verticali.   

Ipotizziamo che vi sia un asintoto verticale laddove l'argomento del logaritmo di annulla (x = 3) oppure dove tende all'infinito (x = 4). Verifichiamolo 

$\displaystyle\lim_{x \to 3} y(x) = -\infty$ è un asintoto verticale di equazione x = 3

$\displaystyle\lim_{x \to 4} y(x) = +\infty$ è un asintoto verticale di equazione x = 4

    2. determiniamo il valore dei parametri a,b, c 

• Asintoto orizzontale

$\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac {ax^2+1}{x^2+bx+c} = a $

Per essere eguale a 0 necessariamente a = 0

• Asintoti verticali

I punti di discontinuità sono le radici del trinomio. Vogliamo che siano x = 3 e x = 4.

Se consideriamo il legame tra le radici e i coefficienti abbiamo la risposta

• • c = 3 \cdot 4 = 12
  • b = -(3+4) = -7