Aree e volumi con integrali

a. dato il fascio di parabole $ Γ: y = kx^2+(4k+\frac{1}{2})x+2 $ verificare che tutte le sue parabole passano per A(-4,0) e B(0, 2)

a.1  Passano per A(-4,0).

Introduciamo le coordinate del punto nella generica parabola del fascio

$ 16k -16k -2+2 = 0$ Questa uguaglianza è vera ∀k∈ℝ, il punto A verifica tutte le equazioni del fascio; ovvero, tutte le parabole passano per A(-4,0)

a.2  Passano per B(0,2).

Introduciamo le coordinate del punto nella generica parabola del fascio

$ 0+0+2 = 2$ Questa uguaglianza è vera ∀k∈ℝ, il punto B verifica tutte le equazioni del fascio; ovvero, tutte le parabole passano per B(0, 2)

b.  retta AB

Vista la natura dei due punti usiamo l'equazione segmentaria della retta, più semplice dell'equazione passante per due punti. 

$ \frac{x}{-4} + \frac{2}{2} = 1 $

$ y = \frac{x}{2} + 2 $

c.  Area A del segmento parabolico.

Occorre distinguere due casi. Caso di parabola convessa (k > 0) e caso di parabola concava (k < 0). 

c. 1 Parabola convessa.

L'area A sarà data dalla superficie compresa tra la parabola (che sta sotto) e la retta AB (che sta sopra)

$ A = \int_{-4}^0 \frac{x}{2} + 2 -(kx^2+(4k+\frac{1}{2})x+2 \, dx $

$ A = \int_{-4}^0 - kx^2- 4kx \, dx $

$ A = \frac{32}{3}k $

Imponiamo l'uguaglianza con A = 64/3

$ A = \frac{32}{3}k = \frac{64}{3} \; ⇒ \; k = +2 $

c.2 Parabola concava.

L'area A sarà data dalla superficie compresa tra la parabola (che sta sopra) e la retta AB (che sta sotto)

$ A = \int_{-4}^0 kx^2+(4k+\frac{1}{2})x+2 - \frac{x}{2} - 2  \, dx $

$ A = \int_{-4}^0 kx^2+ 4kx \, dx $

$ A = -\frac{32}{3}k $

Imponiamo l'uguaglianza con A = 64/3

$ A = -\frac{32}{3}k = \frac{64}{3} \; ⇒ \; k = -2 $