Aiuto fasci rette

(2·k + 1)·x + (3 + k)·y + 1 - 2·k = 0

lo riscrivo come:

k·(2·x + y - 2) + x + 3·y + 1 = 0

Metto a sistema le generatrici del fascio:

{2·x + y - 2 = 0

{x + 3·y + 1 = 0

lo risolvo ed ottengo: [x = 7/5 ∧ y = - 4/5]

C [7/5, - 4/5] centro del fascio di rette

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retta del fascio parallela alla retta : x + y - 1 = 0

Deve essere:

(2·k + 1)/1 = (3 + k)/1---> 2·k + 1 = k + 3---> k = 2

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Passante per P [5,1]

(2·k + 1)·5 + (3 + k)·1 + 1 - 2·k = 0

9·k + 9 = 0----> k = -1

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Ρ [5, 1]

C [7/5, - 4/5]

sono gli estremi della base del triangolo isoscele

PC= √((7/5 - 5)^2 + (- 4/5 - 1)^2) = 9·√5/5

Determino il vertice Q del triangolo isoscele che deve stare sull'asse del segmento di base.

Q [x, y]

(x - 5)^2 + (y - 1)^2 = (x - 7/5)^2 + (y + 4/5)^2

x^2 - 10·x + y^2 - 2·y + 26 = x^2 - 14·x/5 + y^2 + 8·y/5 + 13/5

x^2 - 14·x/5 + y^2 + 8·y/5 + 13/5 - (x^2 - 10·x + y^2 - 2·y + 26) = 0

36·x/5 + 18·y/5 - 117/5 = 0----> y = (13 - 4·x)/2

Asse del segmento di base

Q [x, (13 - 4·x)/2]

L'altezza del triangolo isoscele deve essere pari a:

d = 2·Α/ΡC = (2·441/40)/(9·√5/5) = 49·√5/20

punto medio della base PC:

{x = (5 + 7/5)/2  = 16/5

{y = (- 4/5 + 1)/2 = 1/10

[16/5, 1/10]

[x, (13 - 4·x)/2]

Deve essere:

(16/5 - x)^2 + (1/10 - (13 - 4·x)/2)^2 = (49·√5/20)^2

5·x^2 - 32·x + 256/5 - 2401/80 = 0

arrivo quindi a scrivere:

(4·x - 3)·(20·x - 113)/16 = 0----->x = 113/20 ∨ x = 3/4

Per x = 113/20

si ottiene:

[113/20, (13 - 4·(113/20))/2]---> [113/20, - 24/5]

che scarto perché è del 4° quadrante

Per x = 3/4

[3/4, (13 - 4·(3/4))/2]---->  Q [3/4, 5]

Nota la posizione determino k corrispondente:

(2·k + 1)·(3/4) + (3 + k)·5 + 1 - 2·k = 0

9·k/2 + 67/4 = 0----> k = - 67/18