a. Determina per quale valore di $a$ la funzione
$$
f(x)=\ln \left|\frac{a x^2-1}{x-1}\right|
$$
ha una discontinuità di seconda specie in $x=\frac{1}{2}$.
Classifica le altre discontinuità della funzione per il valore di $a$ trovato.
b. Se $a=1$, che discontinuità presenta $f(x)$ ?
a) $a=4, x=-\frac{1}{2}, x=1$. II specie:
b) $x=-1$ : II specie, $x=1:$ III specie
137
punti
Livello 1
4983
punti
Livello 2
Seconda specie ≡ dei limiti destro e sinistro ALMENO uno diverge o addirittura manca.
In questo caso
* lim_(x → (1/2)-) ln(|(a*x^2 - 1)/(x - 1)|) = (ln(2*|(a/4 - 1)|)) & (|a/4 - 1| > 0)
* lim_(x → (1/2)+) ln(|(a*x^2 - 1)/(x - 1)|) = (ln(2*|(a/4 - 1)|)) & (|a/4 - 1| > 0)
divergono entrambi per
* |a/4 - 1| = 0 ≡ a = 4
---------------
* f(x) = y = ln(|(4*x^2 - 1)/(x - 1)|)
ha asintoti verticali, non di flesso all'infinito, per x ∈ {- 1/2, 1/2, 1}: quindi tutt'e tre di seconda specie.
---------------
* f(x) = y = ln(|(x^2 - 1)/(x - 1)|)
ha un solo asintoto (come sopra) per x = - 1: seconda specie.
E, poiché
* lim_(x → 1) ln(|(x^2 - 1)/(x - 1)|) = ln(2)
là dove l'argomento è indefinito c'è una discontinuità eliminabile, di terza specie.
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2C+y%3Dln%28%7C%28x%5E2-1%29%2F%28x-1%29%7C%29%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-5to5
57798
punti
Genius I
