Sia $W$ un piano in $\mathbf{R}^3$ e sia $f: \mathbf{R}^3 \longrightarrow \mathbf{R}^3$ la proiezione ortogonale su $W$.
(a) Dimostrare che $f^2=f$. Qua $f^2$ indica la composizione $f \circ f$.
(b) Dimostrare che gli autovalori di $f$ sono 0 e 1 .
(c) Descrivere gli autospzi di $f$.
9
punti
Livello 0
Sia $f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ proiezione ortogonale sul piano $W\,$; sia $\phi$ la proiezione ortogonale:
\[\forall \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 \rightarrow W : \phi(\mathbf{v})\,.\]
Applicando ulteriormente la proiezione
\[\phi(\phi(\mathbf{v})) = \phi(\mathbf{v}) \implies \phi \circ \phi = \phi^2 = \phi \iff f^2 = f\,.\]
Se
\[\mathbf{v} \in W \implies \phi(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \mid \mathbf{v} \; \text{autovettore con} \; \lambda = 1\]
\[\phi(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \implies \mathbf{v} = 1 \cdot \mathbf{v}\,.\]
Se
\[\mathbf{v} \in W^{\perp} \implies \phi(\mathbf{v}) = 0 \mid \mathbf{v} \; \text{autovettore con}\; \lambda = 0\]
\[\phi(\mathbf{v}) = 0 \implies \mathbf{v} = 0 \cdot \mathbf{v}\,.\]
Gli autospazi corrispondenti agli autovalori sono
\[V_{\lambda_1} = \{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 \mid \phi(\mathbf{v}) = \mathbf{v}\} = W\]
\[V_{\lambda_0} = \{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 \mid \phi(\mathbf{v}) = 0\} = W^{\perp}\,.\]
3831
punti
Livello 5
