aiuto 269

a. Punti base.

Scegliamo due circonferenze del fascio e intersechiamole tra loro,

• per k = 0 si ha $γ_1: \; x^2+y^2-2x = 0$
• per k = 1 si ha $γ_2: \; x^2+y^2-2x +y-1 = 0$

Intersechiamole risolvendo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} x^2+y^2-2x &= 0 \\ x^2+y^2-2x +y &=1 \end{aligned} \right. $

nota la somma dei primi tre addendi della seconda coincidono con la prima equazione quindi sono nulli. A questo punto la soluzione è a portata di mano e vale x =1 ˄ y = 1

b. Equazione della retta dei centri

Completiamo i quadrati

$ (x^2-2x+1)-1 +(y^2+kx+(\frac{k}{2})^2) - \frac{k}{2})^2 -k = 0 $   

$ (x-1)^2 +(y+ \frac{k}{2})^2 - \frac{k^2}{4} -1-k = 0 $

$ (x-1)^2 +(y+ \frac{k}{2})^2 = \frac{k^2}{4} +k+1 $

i centri hanno coordinate $C(1, -\frac{k}{2})$

che è l'equazione parametrica della retta x = 1

ovvero è la retta che passa per due centri a scelta a esempio C₁(1,0) e C₂(1, 2).

c.  Raggio r = 2 significa che il termine noto deve valere r² = 4

Ricaviamo i valori di k

 $ \frac{k^2}{4}) +k+1 = 4$

Le cui due soluzioni sono:

1. k = - 6 a cui corrisponde la circonferenza $ x^2+y^2-2x-6y+6 = 0$
2. k = 2 a cui corrisponde la circonferenza $ x^2+y^2-2x+2y-2 = 0$

d. Intersezione in due punti distinti con la retta y = 2

Si tratta di impostare il sistema retta / fascio

$ \left\{\begin{aligned} y &=2 \\ x^2+y^2 -2x+ky-k &= 0 \end{aligned} \right. $

Sostituendo la prima nella seconda si ottiene 

$ x^2-2x+4+k = 0$

Avremo due punti distinti se e solo se il discriminante risulta positivo. imponiamolo.

$Δ > 0$

$ 1-(4+k) > 0 $

$k < -3 $