FORMULARIO: EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Un’equazione algebrica di $2^{\circ}$ grado si presenta nella forma:

$$
a x^2+b x+c=0, \text { con } a \neq 0 \text {. }
$$

Se $b \neq 0, c \neq 0$ l’equazione si dice in forma completa e si risolve utilizzando la formula risolutiva:

$$
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

Il termine $\Delta=b^2-4 a c$ si chiama discriminante.

Se $\Delta>0$ l’equazione fornisce due soluzioni reali e distinte che si ottengono applicando la formula risolutiva
Se $\Delta=0$ l’equazione fornisce due soluzioni reali e coincidenti $x_1=x_2=-\frac{b}{2 a}$
Se $\Delta<0$ l’equazione fornisce due soluzioni non reali (complesse e coniugate).

Se $b=0, c \neq 0$ l’equazione si dice pura e diventa $a x^2+c=0$.

Le due soluzioni sono $x= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$. Queste due soluzioni sono reali solo se $a$ e $c$ sono discordi tra loro.

Se $b \neq 0, c=0$ l’equazione si dice spuria e si risolve raccogliendo $x(a x+b)=0$ per cui le soluzioni sono $x_1=0, x_2=-\frac{b}{a}$

Formule risolutive

EQUAZIONE COMPLETA

$$ax^2+bx+c=0$$

Si applica la formula completa:

$$
x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

EQUAZIONE PURA b = 0

$$ax^2+c=0$$

Si isola la x e si estrae la radice quadrata algebrica

EQAZIONE COMPLETA CON b PARI

$$ax^2+bx+c=0$$

Si applica la formula ridotta:

$$
x=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-a c}}{a}
$$

EQUAZIONE SPURIA c = 0

$$ax^2=0$$

Si raccoglie la x e si applica la legge dell’annullamento del prodotto

EQUAZIONE MONOMIA

$$ax^2=0$$

Ha sempre due soluzioni nulle.

$$x_1=x_2=0$$