Sistemi di numerazione e basi


Cosa sono e a cosa servono i sistemi di numerazione? Noi, per esempio, contiamo utilizzando un sistema a base 10 (ha 10 cifre dallo 0 al 9 ). Ma come si scrive il numero 23 in base 4 ? In questa lezione imparerai a esprimere qualsiasi quantità utilizzando diversi sistemi di numerazione!

Appunti

Hai studiato i numeri in base 2 e quelli in base 10 ma non sai cosa è un sistema di numerazione? Vorresti anche sapere come passare da un numero in base $b$, con $b$ numero naturale, ad un numero in base 10 e da un numero in base 10 ad uno in base $b$ ma non sai come fare?

In questa lezione risolviamo tutti i tuoi dubbi! Vediamo cosa sono i sistemi di numerazione, l’algoritmo delle divisioni successive per passare dalla base 10 alla base $b$ e l’algoritmo di Horner per passare dalla base $b$ alla base 10 !
Le cifre in un sistema di numerazione assumono un valore diverso a seconda della loro posizione, per questo il nostro sistema decimale si chiama posizionale.
Qualsiasi quantità può essere espressa utilizzando diversi sistemi di numerazione. Per farlo usiamo due metodi:

  • I’algoritmo delle divisioni successive che serve per passare dalla base 10 a una base diversa, per esempio alla base 2.
  • I’algoritmo di Horner che serve per passare da una qualsiasi base alla base 10 .
    E se vuoi trasformare un numero da una base $b(\neq 10)$ ad una base $c(\neq 10)$ ? Trasforma il numero da base $b$ a base 10 e poi scrivi il numero da base 10 nel numero finale in base $c$ mediante l’algoritmo delle divisioni successive.

Prerequisiti per imparare i sistemi di numerazione e le basi

I prerequisiti per imparare i sistemi di numerazione e le basi sono:

Sistema decimale e posizionale

Che cos’è la base di sistema di numerazione? La base di un sistema di numerazione è l’insieme dei simboli (cifre) che il sistema utilizza.ll nostro è un sistema decimale, cioè usa 10 cifre dallo 0 al 9 .

A seconda di come scriviamo un numero le cifre che lo compongono hanno un significato diverso a seconda della loro posizione: scrivere 234 è diverso da 324. In 234 la prima cifra è un 2 che rappresenta le centinaia, il 3 è la decina e il 4 indica le unità. In 324 abbiamo invece 3 centinaia, 2 decine e 4 unità. Le cifre 2 e 3 si scambiano i ruoli nei due numeri!

Se, come per il nostro sistema decimale, le cifre che compongono il numero hanno un diverso significato a seconda della loro posizione il sistema di numerazione si chiamerà sistema di numerazione posizionale!

Come trasformare un numero dalla base 10 alla base $b$

Trasformare un numero dalla base 10 ad una qualunque base $b$ è faciissimo! Dobbiamo usare l’algoritmo delle divisioni successive: ma come funziona?

  • Prendiamo il nostro numero e dividiamolo successivamente per la base $b$ in cui vogliamo scriverlo fino ad ottenere come quoziente 0 . La cosa importante è appuntarsi tutti i resti di queste divisioni.
  • Ora leggiamo i resti dal basso verso l’alto: questo è il nostro numero trasformato in base $b$ !

Facciamo un breve esempio per chiarire ogni possibile dubbio: vogliamo trasformare 23 (base 10 ) in base 5 :

  • $23: 5=4$ con resto 3
  • $4: 5=0$ con resto 4

Quindi $23_{10}$ si trasforma nel numero $43_5$ !

Come passare dalla base $b$ alla base 10

Ma se ora vogliamo tornare indietro? Abbiamo un numero in base $b$ e vogliamo sapere come si scrive in base 10 , come facciamo? Si usa un altro algoritmo: l’algoritmo di Horner!
Per esempio trasformiamo il numero 134 dalla base 5 alla base 10 :

  • prendiamo la cifra più a sinistra e moltiplichiamo per la base che è 5 . Quindi $1 \cdot 5=5$ e sommiamo questo numero con la seconda cifra, che è 3 . Allora abbiamo $1 \cdot 5+3=8$
  • ora moltiplichiamo il risultato ottenuto per la base e sommiamo questo numero alla terza cifra di 134 , quindi $8 \cdot 5+4=44$

Quindi il numero $134_5$ è il numero 44 in base 10 !

Ora ti starai chiedendo: e se volessi trasformare un numero dalla base 4 alla base 16 come si fa?

Devi prima scrivere il numero in base 10 usando l’algoritmo di Horner e poi tramite l’algoritmo delle divisioni successive esprimerlo nella base che volevi.

SOS Matematica

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