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Dati un punto  e una circonferenza qualsiasi di equazione:

si possono presentare i tre seguenti casi:

  1. Il punto P è esterno alla circonferenza.
  2. Il punto P appartiene alla circonferenza
  3. Il punto P è interno alla circonferenza

Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti passanti per P nei primi due casi (esterno o appartenente alla circonferenza) è possibile seguire due metodi.

Primo metodo:

Si procede nel seguente modo:

  • Si scrive l’equazione del fascio di rette passanti per  
  • Si scrive il sistema delle equazioni del fascio e della circonferenza:

  • Si ricava la y nell’equazione del fascio di rette e si sostituisce nell’equazione della circonferenza, ottenendo un’equazione di secondo grado nella variabile x i cui coefficienti sono funzioni del parametro m
  • Si pone la condizione di tangenza, ossia , in quanto, affinché la retta P sia tangente alla circonferenza, è necessario che l’equazione risolvente ammetta due soluzioni coincidenti
  • Si risolve l’equazione di secondo grado rispetto a m, ottenuta ponendo

Se il punto P è esterno alla circonferenza, si ha  e le rette tangenti sono due.

Se il punto P appartiene alla circonferenza, si ha  e le retta tangente è una sola (o due coincidenti)

 

Secondo metodo: Distanza retta-centro uguale al raggio

  • Si determinano le coordinate del centro C e il raggio r della circonferenza.
  • Si scrive l’equazione del fascio di rette passanti per P in forma implicita:

  • Si applica la formula della distanza di un punto da una retta per esprimere la distanza dal centro C da una generica retta del fascio.
  • Si  pone tale distanza uguale al raggio e si risolve l’equazione in m.
  • Si sostituisce il valore o i valori trovati in m nell’equazione del fascio di rette.

Se il punto P appartiene alla circonferenza, oltre ai due a questi due metodi si può applicare anche i seguenti:

 

Terzo metodo: Retta tangente in P come perpendicolare al raggio PC

  • Si determinano le coordinate del centro C della circonferenza.
  • Si trova il coefficiente angolare m della retta r passante per P e per C.
  • Si calcola il coefficiente angolare   della rette perpendicolare a r.
  • Si scrive l’equazione della tangente:

 

Quarto metodo: Formule di sdoppiamento

  • Si scrive l’equazione della circonferenza
  • Se il punto P ha coordinate , si eseguono le sostituzioni

        

 

        

  • Si può dimostrare che l’equazione della retta tangente è:

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