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Giulia ha 5 mele e 5 pere: in quanti modi può
mettere in fila 5 frutti, in modo che tra due
mele non ci sia mai nessuna pera?

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Possiamo iniziare nel vedere una rappresentazione grafica per farci un’idea, ponendo X=mele e O=pere, sapendo che dobbiamo organizzare delle combinazioni dei due frutti in fila per 5.

OXXXX

XXXXO

XOOOX

XOOXO

XXOOX

XXOOO

XOOOX

OOXXX

OOOXX

XOOXO

Si formano così 10 combinazioni, dovendoci stare sempre almeno 2 mele (X) e tra di esse non deve mai esserci 1 pera (O).

In forma algebrica possiamo tradurre ciò attraverso il coefficiente binomiale di n elementi di classe k ,  \binom{n}{k} , trattando così delle combinazioni semplici, senza ripetizione, sia per le mele che per le pere.

Tra le 5 mele possibili vogliamo che ci sia almeno una coppia ovvero 2 mele, quindi, dalla formula generale:

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Ho per le mele: n=5 e k=2

C_5,_2=\binom{5}{2}

Per le pere invece voglio che non ci sia nessuna tra la coppia di mele, quindi:

Per le pere ho: n=5 e k=0

C_5,_0=\binom{5}{0}

Il loro prodotto sarà:

\binom{5}{2}*\binom{5}{0}=(\frac{5!}{2!(5-2)!})*(\frac{5!}{0!(5-0)!})  \Leftrightarrow \frac{5*4*3*2*1}{2*1*(3*2*1)}*\frac{5*4*3*2*1}{1*(5*4*3*2*1)} = \frac{20}{2}=10

Quindi ho 10 modi possibili di organizzare i frutti nel modo richiesto.

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Nel quesito non è mai specificato che due mele debbano esserci obbligatoriamente.

Quindi io lo ho risolto così:

Con 1 mela:

XOOOO

OXOOO

OOXOO

OOOXO

OOOOX

CON DUE MELE:

XXOOO

OXXOO

OOXXO

OOOXX

CON TRE MELE:

XXXOO

OXXXO

OOXXX

CON QUATTRO MELE:

XXXXO

OXXXX

CON CINQUE MELE/CON CINQUE PERE:

XXXXX/OOOOO

 

 

 

 

 

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