Risposto
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Studiare al variare di x:

∑ per n che va da 1 a infinito di:

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Miglior Risposta
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Giacomo buongiorno, forse la serie da te richiesta è la seguente:

Poniamo una sostituzione per semplificare i calcoli:

La serie iniziale, facendo questa sostituzione, diventa:

Siccome poniamo in modo tale si ha:

L’ultima serie è una serie nota, ovvero si tratta della serie armonica generalizzata che converge se .

Visto che   ne consegue che

quindi infine la serie proposta converge per:

.

 

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Ciao Giacomo,

partendo dalla serie  possiamo riscriverla come

Quest ultima possiamo dividerla come somma di due serie.

Studiamo separatamente le due serie.

Per quanto riguarda la prima serie sappiamo che:

   

Quindi la serie data diverge (positivamente) per il criterio del confronto con una serie armonica.

Per quanto riguarda la seconda serie questa equivale a :  poiché la serie non dipende dal parametro n.

Possiamo dunque studiare tale valore al variare di x ponendo arbitrariamente n=1, in quanto va da 1 a infinito.

Ponendo uguale ad l, sappiamo che se l<1 converge mentre se l>1 diverge se l=1 non possiamo dire nulla.

Studiamo il caso in cui l<1 :

quindi:

  allora

Studiamo il caso in cui l>1 :

quindi:

allora

Studiamo il caso in cui l=1 :

quindi:

allora  

 

  • Giacomo-Zanini
    Ciao Emanuele, grazie per la risposta. Continuo a non capire il primo passaggio. È ln(x) elevato alla ln(n). Non è la x elevata alla ln(n) ma tutto il logaritmo. Quindi non è possibile applicare la proprietà dei logaritmi. E soprattutto, perché diventa ln(ln(x))? Forse sono io che mi sono perso qualcosa.
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