Teoria dei gruppi
Prefazione
Capitolo 1. Â Insiemi. Relazioni. Insiemi numerici.
- Generalità sugli insiemi.
- Relazioni. Relazioni di equivalenza e di ordine.
- Â Applicazioni fra insiemi
- L’insieme N dei numeri naturali. Principio di Induzione.
- I numeri interi. La divisione euclidea. MCD di due interi.
- Numeri primi. Il teorema fondamentale dell’aritmetica.
- Insiemi finiti e infiniti. Cardinalità .
- Esercizi relativi al Capitolo 1
Capitolo 2. Gruppi
- Strutture algebriche. Proprietà elementari dei gruppi.
- Esempi di gruppi fondamentali
- Sottogruppi
- Generatori di un gruppo. Gruppi ciclici.
- Laterali e Indice di un sottogruppo
- Teorema di Lagrange. Teorema di Sylow. Teorema di Cauchy.
- Esercizi relativi al Capitolo 2
Capitolo 3. Gruppi di Permutazioni
- Permutazioni. Gruppo Simmetrico.
- Gruppo Alterno
- Esercizi relativi al Capitolo 3
Capitolo 4 . Sottogruppi normali e gruppo quoziente
- Sottogruppi normali. Gruppo Quoziente.
- Gruppi Semplici.
- Esercizi relativi al Capitolo 4
Capitolo 5. Omomorfismi e Automorfismi di un gruppo
- Definizioni e ProprietÃ
- Teorema di Cayley
- Centro e centralizzante di un gruppo
- Automorfismi interni e sottogruppi caratteristici di un gruppo
- Azione di un gruppo su un insieme. Orbite. Stabilizzatori.
- Esercizi relativi al Capitolo 5
Capitolo 6. Prodotto Diretto di gruppi
- Definizioni e ProprietÃ
- Struttura dei gruppi abeliani finiti.
- Esercizi relativi al Capitolo 6
Capitolo 7. Gruppi Risolubili
- Derivato di un gruppo
- Risolubilità di un gruppo
- Risolubilità di $S_{n}$ e di altre famiglie di gruppi.
- Esercizi relativi al Capitolo 7
Capitolo 8. Reticoli
- Reticoli: definizioni e proprietÃ
- Sottoreticoli
- Diagramma di un reticolo finito (diagramma di Hasse)
- Reticoli modulari e reticoli distributivi
- Reticoli complementati e Algebra di Boole
- Esercizi relativi al Capitolo 8
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