Teoria dei gruppi

Prefazione

Capitolo 1.  Insiemi. Relazioni. Insiemi numerici.

  1. Generalità sugli insiemi.
  2. Relazioni. Relazioni di equivalenza e di ordine.
  3.  Applicazioni fra insiemi
  4. L’insieme N dei numeri naturali. Principio di Induzione.
  5. I numeri interi. La divisione euclidea. MCD di due interi.
  6. Numeri primi. Il teorema fondamentale dell’aritmetica.
  7. Insiemi finiti e infiniti. Cardinalità.
  8. Esercizi relativi al Capitolo 1

Capitolo 2. Gruppi

  1. Strutture algebriche. Proprietà elementari dei gruppi.
  2. Esempi di gruppi fondamentali
  3. Sottogruppi
  4. Generatori di un gruppo. Gruppi ciclici.
  5. Laterali e Indice di un sottogruppo
  6. Teorema di Lagrange. Teorema di Sylow. Teorema di Cauchy.
  7. Esercizi relativi al Capitolo 2

Capitolo 3. Gruppi di Permutazioni

  1. Permutazioni. Gruppo Simmetrico.
  2. Gruppo Alterno
  3. Esercizi relativi al Capitolo 3

Capitolo 4 . Sottogruppi normali e gruppo quoziente

  1. Sottogruppi normali. Gruppo Quoziente.
  2. Gruppi Semplici.
  3. Esercizi relativi al Capitolo 4

Capitolo 5. Omomorfismi e Automorfismi di un gruppo

  1. Definizioni e Proprietà
  2. Teorema di Cayley
  3. Centro e centralizzante di un gruppo
  4. Automorfismi interni e sottogruppi caratteristici di un gruppo
  5. Azione di un gruppo su un insieme. Orbite. Stabilizzatori.
  6. Esercizi relativi al Capitolo 5

Capitolo 6. Prodotto Diretto di gruppi

  1. Definizioni e Proprietà
  2. Struttura dei gruppi abeliani finiti.
  3. Esercizi relativi al Capitolo 6

Capitolo 7. Gruppi Risolubili

  1. Derivato di un gruppo
  2. Risolubilità di un gruppo
  3. Risolubilità di $S_{n}$ e di altre famiglie di gruppi.
  4. Esercizi relativi al Capitolo 7

Capitolo 8.  Reticoli

  1. Reticoli: definizioni e proprietà
  2. Sottoreticoli
  3. Diagramma di un reticolo finito (diagramma di Hasse)
  4. Reticoli modulari e reticoli distributivi
  5. Reticoli complementati e Algebra di Boole
  6. Esercizi relativi al Capitolo 8

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