Teoria dei gruppi

Prefazione

Capitolo 1.  Insiemi. Relazioni. Insiemi numerici.

1. Generalità sugli insiemi.
2. Relazioni. Relazioni di equivalenza e di ordine.
3.  Applicazioni fra insiemi
4. L’insieme N dei numeri naturali. Principio di Induzione.
5. I numeri interi. La divisione euclidea. MCD di due interi.
6. Numeri primi. Il teorema fondamentale dell’aritmetica.
7. Insiemi finiti e infiniti. Cardinalità.
8. Esercizi relativi al Capitolo 1

Capitolo 2. Gruppi

1. Strutture algebriche. Proprietà elementari dei gruppi.
2. Esempi di gruppi fondamentali
3. Sottogruppi
4. Generatori di un gruppo. Gruppi ciclici.
5. Laterali e Indice di un sottogruppo
6. Teorema di Lagrange. Teorema di Sylow. Teorema di Cauchy.
7. Esercizi relativi al Capitolo 2

Capitolo 3. Gruppi di Permutazioni

1. Permutazioni. Gruppo Simmetrico.
2. Gruppo Alterno
3. Esercizi relativi al Capitolo 3

Capitolo 4 . Sottogruppi normali e gruppo quoziente

1. Sottogruppi normali. Gruppo Quoziente.
2. Gruppi Semplici.
3. Esercizi relativi al Capitolo 4

Capitolo 5. Omomorfismi e Automorfismi di un gruppo

1. Definizioni e Proprietà
2. Teorema di Cayley
3. Centro e centralizzante di un gruppo
4. Automorfismi interni e sottogruppi caratteristici di un gruppo
5. Azione di un gruppo su un insieme. Orbite. Stabilizzatori.
6. Esercizi relativi al Capitolo 5

Capitolo 6. Prodotto Diretto di gruppi

1. Definizioni e Proprietà
2. Struttura dei gruppi abeliani finiti.
3. Esercizi relativi al Capitolo 6

Capitolo 7. Gruppi Risolubili

1. Derivato di un gruppo
2. Risolubilità di un gruppo
3. Risolubilità di $S_{n}$ e di altre famiglie di gruppi.
4. Esercizi relativi al Capitolo 7

Capitolo 8.  Reticoli

1. Reticoli: definizioni e proprietà
2. Sottoreticoli
3. Diagramma di un reticolo finito (diagramma di Hasse)
4. Reticoli modulari e reticoli distributivi
5. Reticoli complementati e Algebra di Boole
6. Esercizi relativi al Capitolo 8