Impara ad utilizzare gli operatori logici binari come la congiunzione, e la disgiunzione. Impara a distinguere la disgiunzione inclusiva dalla disgiunzione esclusiva!
Appunti
Abbiamo visto che la negazione è un operatore logico unario in quanto agisce su una singola proposizione.
Quando un operatore logico lega almeno due proposizioni si dice operatore logicobinario. Gli operatori binari sono:
Congiunzione: è l’unione di due frasi tramite la particella ‘e’.
Disgiunzione inclusiva: è l’unione di due frasi tramite la particella ‘o’.
Disgiunzione esclusiva: è l’unione di due frasi tramite le particelle ‘o…o’.
Prerequisiti per imparare congiunzione e disgiunzione
I prerequisiti per imparare congiunzione e disgiunzione sono:
proposizioni logiche
operazioni con gli insiemi.
La congiunzione
Consideriamo le due proposizioni indipendenti:
- $p:$ “Oggi è domenica”;
- $q$ : Oggi c’è il sole”.
Le due proposizioni possono essere composte in una proposizione composta mediante la congiunzione e:
pe q: “Oggi è domenica e oggi c’è il sole”.
È una proposizione composta ottenuta mediante l’operatore binario congiunzione $\mathrm{x}$ ex, rappresentato dal simbolo $\mathrm{A}$.
Altri esempi sono: - “La lampadina rossa è accesa e la lampadina blu è accesa”.
- “Il mio gelato è alla fragola e al pistacchio”.
- “Ha i capelli corti e porta gli occhiali”.
- “Alice guarda i gatti ed i gatti guardano il sole”.
Per stabilire se le frasi composte sono vere $(V)$ oppure false $(F)$ usiamo le tavole di verità. In particolare, $p$ $q$ è vera solo quando $p$ e $q$ sono entrambe vere.
La tavola di veritả per la congiunzione è sempre valida per qualsiasi proposizione logica.
Allora se consideriamo le due proposizioni:
- $A$ : “il re di cuori è una carta di cuori”;
- $B$ : “il re di cuori è un asso”.
La proposizione $\boldsymbol{A} \wedge \boldsymbol{B}$ : “il re di cuori è una carta di cuori ed è un asso” è una proposizione falsa.
Disgiunzione inclusiva
Un altro operatore binario è la disgiunzione inclusiva:
Consideriamo le due proposizioni indipendenti:
- $p$: “La lampadina rossa è accesa”;
- $q$: “La lampadina blu è accesa”.
La proposizione composta mediante la disgiunzione inclusiva si indica con $p \vee q$ e si legge: “La lampadina rossa è accesa o la lampadina blu è accesa’’.
Ed indica che entrambe le lampadine possono essere accese o una delle due è accesa e l’altra spenta.
Dunque, $p \vee q$ è falsa quando entrambe $p$ e $q$ sono false. Ed è vera se almeno una delle due è vera.
Altri esempi di disgiunzione inclusiva, sono:
- Il mio gelato è alla fragola o al pistacchio
- Ho una carta rossa o ho una carta di cuori
- Porta la maglietta blu oppure i pantaloni azzurri.
Disgiunzione esclusiva
La disgiunzione esclusiva è un operatore logico binario che esprime un’alternativa.
Consideriamo le due proposizioni indipendenti:
- $p$ : “Questa carta è un asso”;
- $q$ : “Questa carta è un due”.
In questo caso $p$ e $q$ si escludono a vicenda, pertanto la proposizione composta mediante disgiunzione esclusiva “Questa carta o è un asso o è un due” è vera solo quando è vera una sola delle due, falsa in tutti gli altri casi.
Tale tipo di operatore ” $0 . .0$. si chiama disgiunzione esclusiva perché una proposizione esclude l’altra.
Si indica con $P \dot{V} Q$
Ad esempio, consideriamo la proposizione logica composta:
- $p \dot{V} q$ : “Il mio gelato o è alla fragola o è al pistacchio.”
Essa è costituita dalle due proposizioni semplici: - $p$ *il mio gelato è alla fragola”;
- $q$ : “il mio gelato è al pistacchio”.
$p$ è vera e $q$ è vera, allora $p \dot{V} q$ è falsa perché $p$ e $q$ rappresentano due alternative esclusive.
Se $p$ è vera e $q$ è falsa, allora $p \dot{V} q$ è vera e lo stesso accade se $p$ è falsa e $q$ è vera. Se il mio gelato non è né alla fragola, né al pistacchio, $p \dot{V} q$ è falsa.