Come calcolare la radice di un numero?
Non tutte le radici sono perfette: esistono numeri che non sono quadrati o cubi di un altro numero. In questi casi possiamo agire in due modi: con la scomposizione in fattori primi, oppure utilizzando le tavole numeriche.
Appunti
La radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato. La radice cubica è l’operazione inversa dell’elevamento al cubo. E possiamo andare avanti così per tutte le potenze. Ma come calcolare la radice quadrata di un numero che non è il quadrato di nessun numero intero?
Per esempio, come facciamo a calcolare $£ \$ \backslash s q r t{54} \$ £$ oppure $£ \$$ isqrt[3]{75}\$£? Non sono radici perfette.
Quando dobbiamo calcolare la radice quadrata o cubica di un numero qualsiasi che non sia un quadrato o un cubo perfetto, puoi usare le tavole numeriche.
Altrimenti scomponi il numero in fattori primi e impara a portarli fuori dalla radice!
PREREQUISITI
Ripassa la scomposizione in fattori per provare a calcolare la radice quadrata di numeri che non sono quadrati perfetti: ripassa i divisori di un numero. Impara a portare i fattori fuori dalla radice con una divisione: sfrutta le proprietà delle potenze.
Prerequisiti per imparare a calcolare la radice di un numero
Prerequisiti per imparare a calcolare la radice di un numero:
- scomposizione in fattori
- divisori di un numero
- proprietà delle potenze con la stessa base
- proprietà delle potenze con lo stesso esponente.
Come calcolare la radice quadrata di quadrati non perfetti con le tavole numeriche
Abbiamo visto che è facile trovare la radice quadrata o cubica quando ci sono quadrati o cubi perfetti.
I numeri che terminano per $2,3,7,8$ o un numero dispari di 0 , sicuramente non sono quadrati perfetti. Come calcolare la radice quadrata di un numero che non sia un quadrato perfetto? E per le radici cubiche? Per trovare la radice quadrata o la radice cubica di quadrati e cubi non perfetti possiamo usare le tavole numeriche.
Le tavole numeriche sono delle tabelle in cui possiamo leggere il quadrato, il cubo, la radice quadrata e la radice cubica dei numeri da 1 a 1000 .
Nella tabella delle radici quadrate, troviamo le radici approssimate alla quarta cifra dopo la virgola. Se i numeri non sono quadrati perfetti, dovremo approssimare per difetto o per eccesso alla cifra che ci interessa mantenere. Se la cifra subito dopo quella che ci interessa è minore di 5 , approssimiamo per difetto; se invece la cifra che ci interessa è compresa tra 5 e $9(5 \leq x \leq 9)$, approssimiamo per eccesso.
Esempio:
- $\sqrt{5}=2,236067 \ldots$ arrotondato al decimo è 2,2 . La seconda cifra dopo la virgola, cioè $i$ centesimi, è $3<5$, quindi arrotondiamo per difetto, cioè lasciamo la cifra indicata: $\sqrt{5}=2,2$;
- $\sqrt{5}=2,236067 \ldots$ arrotondato al centesimo è 2,24 La cifra dopo quella che ci interessa è $6>5$, quindi approssimiamo per eccesso, cioè aumentiamo di 1 l’ultima cifra: $\sqrt{5}=2,24$.
Come calcolare le radici con la scomposizione in fattori primi
Abbiamo visto che la radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. Abbiamo anche visto che è facile calcolare le radici perfette. Se non abbiamo una radice perfetta, ma dobbiamo calcolare la radice quadrata o cubica possiamo usare le tavole numeriche. In tutti gli altri casi?
In mancanza delle tavole numeriche o della calcolatrice, possiamo calcolare la radice di un numero utilizzando la scomposizione in fattori primi.
Partiamo dalla radice quadrata! Un numero è un quadrato perfetto se gli esponenti di tutti i fattori primi che troviamo dalla scomposizione sono pari. Possiamo “portare fuori” dalla radice tutti questi numeri dividendo l’esponente del radicando per l’indice di radice, cioè 2 . Fuori dalla radice rimarrà lo stesso numero con esponente uguale al quoziente tra radicando e indice di radice. Dentro la radice rimane 1 , e visto che $\sqrt{1}=1$, possiamo anche non scriverla!
Esempio: $\sqrt{900}=\sqrt{9 \cdot 100}=\sqrt{3^2 \cdot 5^2 \cdot 2^2}=3 \cdot 2 \cdot 5=30$
Se il radicando non è un quadrato perfetto, una parte resterà sotto alla radice. In questo caso scomponi ulteriormente le potenze della fattorizzazione in un prodotto di potenze raggruppando le potenze con esponente pari e quelle con esponente dispari. Puoi portare fuori dalla radice quelle con esponente pari, e quindi divisibile per 2 , mentre le altre rimangono sotto la radice.
Esempio: $\sqrt{8}=\sqrt{2^3}=\sqrt{2^2 \cdot 2}=2 \sqrt{2}$ (due volte il radicale radice di 2 )
Questo procedimento ti permette di risolvere o semplificare ogni radice, basta scomporre il radicando come prodotto di numeri con esponente divisibile per l’indice della radice!
Esempio:
- $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{2 \cdot 3^3}=3 \cdot \sqrt[3]{2}$
- $\sqrt[5]{2^6 \cdot 3^2 \cdot 4^{11}}=\sqrt[5]{2^5 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 4^{10} \cdot 4}=2 \cdot 4^2 \cdot \sqrt[5]{2 \cdot 3^2 \cdot 4}$